几道数学问题,高手予以解答

Question

1.设a,b,c,d都是整数,且m=a^2+b^2,n=c^2+d^2,试将m*n表示为两个整数
2.设a,b,c,d为整数，且ab+cd能被a-c整除,证明ad+bc也能被a-c整除
3.已知a^2+b^2=2,c^2+d^2=2,ac=bd,求证：a^2+c^2=2,b^2+d^2=2,ab=cd

Answer 1

1.m*n=(a^2+b^2)*(c^2+d^2)
=(ad)^2+(ac)^2+(bc)^2+(bd)^2
=(ad+bc)^2+(ac-bd)^2

1题我看不明白

2.ab+cd能被a-c整除,
设ab+cd=K（a-c),K是整数。
ad+bc=(ad+bc-ab-cd)-(ab+cd)
=(a-c)(d-b)-k(a-c)
=(a-c)(d-b-k)
可以知道，ad+bc也能被a-c整除

3.a^2+b^2=2,c^2+d^2=2.
c^2(a^2+b^2)=2c^2,b^2(c^2+d^2)=2b^2
(ac)^2=2c^2-b^2c^2 = (bd)^2=2b^2-b^2c^2
2c^2-b^2c^2=2b^2-b^2c^2
b^2=c^2
所以a^2+c^2=a^2+b^2=2,
b^2+d^2=c^2+d^2=2,
b^2=c^2
b=c或b=-c
ab=ac=bd=cd.或ab=-ac=-bd=cd
ab=cd

Answer 2

呵呵，我是个初中生

Answer 3

1。m=a^2+b^2,n=c^2+d^2,
mn=(ad)^2+(ac)^2+(bc)^2+(bd)^2
=(ad+bc)^2+(ac-bd)^2

2.(ad+bc)-(ab+cd)
=d(a-c)-b(a-c)=(a-c)(b-d)
所以ad+bc=(a-c)(b-d)+(ab+cd)能被a-c整除。

3。a^2+b^2=2,c^2+d^2=2,ac=bd,
设a=√2cosα, b=√2sinα
c=√2cosβ, d=√2sinβ
ac-bd=0得: cos(α+β)=0, α+β=kπ+π/2
α=kπ+π/2-β
故a^2=d^2,b^2=c^2
故：a^2+c^2=2,b^2+d^2=2,ab=cd

Answer 4

还没搞清楚^是什么了